8.3. Задача «Простой калькулятор»

Авторы: Алексей Толстиков, Александр Куликов

В этой статье вы научитесь строить оптимальную последовательность операций, которая позволяет получить заданное число, начиная с 1. На первый взгляд кажется разумным всегда делить число пополам, если это возможно, — но такой жадный подход не гарантирует кратчайшего пути. Мы разберём, как динамическое программирование позволяет найти действительно минимальную последовательность шагов.

Ключевые вопросы статьи

• Почему жадная стратегия не гарантирует оптимальный результат при построении последовательности операций?
• Как использовать динамическое программирование для поиска минимального числа шагов?
• Как восстановить оптимальную последовательность действий из таблицы значений?

Вводная информация по задачеВводная информация по задаче

У вас есть калькулятор, который выполняет с целым числом только следующие операции: сложить и , умножить на  или умножить на . Имея положительное целое число , вы должны найти минимальное количество операций, необходимых для получения числа из числа .

Попробуем решить эту задачу с помощью «жадной» стратегии: если текущее число не превышает , то умножим его на 3; если оно больше , но не больше , то умножим его на 2; в остальных случаях добавим к нему 1. Это приводит к следующему псевдокоду.

GreedyCalculator(n):
    numOperations = 0
    currentNumber = 1
    while currentNumber<n:
        if currentNumber <= n/3:
            currentNumber = 3*currentNumber
        else if currentNumber <= n/2:
            currentNumber = 2*currentNumber
        else: 
            currentNumber = 1+currentNumber
        numOperations = numOperations+1
    return numOperations

• Входные данные: Целое число .
• Выходные данные: В первой строке: — минимальное число необходимых операций для получения из . Во второй строке: последовательность промежуточных чисел. Так, вторая строка должна содержать положительные целые числа , при которых , , и для всех равно , или . Если таких последовательностей много, то можно вывести любую из них.
• Ограничения: .

Пример 1Пример 1

Пример 2Пример 2

• Ещё один корректный вывод в этом случае — это «1 3 9 10 11 33 99 297 891 2673 8019 16038 16039 48117 96234».

РешениеРешение

Рассмотрим решение задачи. Пусть — минимальное количество операций, необходимых для получения числа из числа . Так как последняя операция в оптимальной последовательности — это «», «» или «», мы получаем следующее рекуррентное соотношение для :

Данное рекуррентное соотношение, вместе с базовым случаем , можно трансформировать в рекурсивный, а затем в итерационный алгоритм.

Calculator(n):
    table[1..n]←[+infinity,…,+infinity]
    table[1] = 0

    for k from 2 to n:
        table[k]=1+table[k−1]
        if k is divisible by 2:
            table[k]=min(table[k],1+table[k/2])
        if k is divisible by 3:
            table[k]=min(table[k],1+table[k/3])
    return table[n]

Помните, что помимо оптимального значения необходимо вывести оптимальную последовательность операций. Для этого обратим внимание на то, что мы можем найти последнюю операцию следующим образом:

• это «», если ;
• это «», если можно разделить на  и ;
• это «», если можно разделить на  и .

Эти действия позволяют нам выявить оптимальную последовательность:

1. найти последнюю операцию;
2. заменить на , или (в зависимости от того, какой это из трёх случаев выше);
3. повторить (пока ).

Calculator(n):
    table[1..n]←[+infinity,…,+infinity]
    table[1] = 0

    for k from 2 to n:
        table[k]=1+table[k−1]
        if k is divisible by 2:
            table[k]=min(table[k],1+table[k/2])
        if k is divisible by 3:
            table[k]=min(table[k],1+table[k/3])

    operations = empty list
    while n > 1:
        append n to operations
        if table[n]=1+table[n−1]:
            n = n - 1
        else if n is divisible by 2 and table[n]=1+table[n/2]:
            n = n/2
        else if n is divisible by 3 and table[n]=1+table[n/3]:
            n = n/3
    return operations

Время выполнения алгоритма составляет .

Что дальшеЧто дальше

Теперь вы знаете, как находить минимальную последовательность операций для получения заданного числа, используя динамическое программирование. Вы научились строить таблицу значений и восстанавливать по ней путь — от цели к началу. А ещё убедились, что жадный подход может подвести, даже если кажется логичным.

Далее — задача на редактирование строк. Вы узнаете, как рассчитать расстояние между двумя строками, используя матрицу изменений, и зачем это нужно в задачах на сравнение, поиск и коррекцию.

Ключевые выводы статьи

• Жадный алгоритм может не давать оптимальный результат — даже если кажется разумным.
• Динамическое программирование позволяет найти кратчайшую последовательность операций с минимальными затратами.
• Чтобы восстановить путь, нужно не только посчитать значения, но и зафиксировать переходы.
• Умение строить такие цепочки важно для задач, где нужно не только посчитать, но и объяснить, как получить ответ.