5.5. Задача поиска кратчайшего пути в графе

Автор: Мария Горденко

В этой статье вы познакомитесь с алгоритмом Дейкстры — одним из самых известных алгоритмов на графах. Он позволяет находить кратчайшие пути от одной вершины до всех остальных в графе без отрицательных весов. Вы узнаете, как работает идея постепенного уточнения расстояний, научитесь реализовывать алгоритм шаг за шагом и поймёте, как восстанавливается путь.

Ключевые вопросы статьи

• Как устроен алгоритм Дейкстры и зачем нужны веса рёбер?
• Почему алгоритм не работает с отрицательными весами?
• Как восстановить кратчайший путь после завершения алгоритма?

Принцип работы алгоритма ДейкстрыПринцип работы алгоритма Дейкстры

Зачастую в графах требуется находить между вершинами кратчайшие пути. Один из алгоритмов нахождения кратчайших путей от заданной вершины до любой другой — алгоритм Дейкстры. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса.

Асимптотическая сложность нахождения компонент связности в графе — O(V+E), где V — число вершин, а E — число рёбер и дуг.

Опишем принцип работы алгоритма Дейкстры:

• Шаг 1. Всем вершинам, за исключением первой, присваивается вес равный бесконечности, а первой вершине — 0.
• Шаг 2. Все вершины не посещены.
• Шаг 3. Первая вершина объявляется текущей.
• Шаг 4. Вес всех невыделенных вершин пересчитывается по формуле: вес невыделенной вершины есть минимальное число из старого веса данной вершины, суммы веса текущей вершины и веса ребра, соединяющего текущую вершину с невыделенной.
• Шаг 5. Среди невыделенных вершин ищется вершина с минимальным весом. Если такова не найдена, то есть вес всех вершин равен бесконечности, то маршрута не существует. Следовательно, выход. Иначе, текущей становится найденная вершина. Она же выделяется.
• Шаг 6. Если текущей вершиной оказывается конечная, то путь найден, и его вес есть вес конечной вершины.
• Шаг 7. Переход на шаг 4.

Пример работы алгоритма показан на картинке ниже.

Посмотрим на реализацию.

Dijkstra(graph, start, finish, used):
    vector d(n, inf), p(n, -1)
    n = len(graph)
    graph[v] = 1
    for (int i = 0; i < n; ++i)
      int v = -1
      for (int j = 0; j < n; ++j)
        if (!used[j] and (v == -1 or d[j] < d[v]))
          v = j
      used[v] = true
      for (int j = 0; j < len(graph[v]); ++j)
        to = graph[v][i].vertex
        len = graph[v][i].edge
        if (d[v] + len < d[to])
          d[to] = d[v] + len
          p[to] = v

Асимптотическая сложность алгоритма Дейкстры — , где — число вершин, а  — число рёбер и дуг.

Упражнение 1Упражнение 1

Подумайте, как восстановить путь, используя введённый массив p?

Упражнение 2Упражнение 2

Как изменится кратчайший путь, если все веса рёбер увеличить на какое-то число?

Упражнение 3Упражнение 3

Как изменится кратчайший путь, если все веса рёбер увеличить в какое-то число раз?

Упражнение 4Упражнение 4

Подумайте, почему алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса?

Что дальшеЧто дальше

Теперь вы умеете находить кратчайшие пути в графах с помощью алгоритма Дейкстры. Вы научились пошагово уточнять расстояния до вершин, работать с массивом предков и восстанавливать путь. Вы также поняли, в каких случаях алгоритм применим, а в каких — нет.

Далее — завершение раздела. Мы кратко подведём итоги, сравним изученные подходы и обобщим стратегии, которые помогут вам уверенно решать задачи на графы.

Ключевые выводы статьи

• Алгоритм Дейкстры находит кратчайшие пути от одной вершины до всех остальных в графе без отрицательных рёбер.
• Идея алгоритма — постепенно уточнять расстояния, переходя от ближайших вершин к более дальним.
• Для восстановления пути используется массив предков.
• Алгоритм не работает корректно при наличии отрицательных весов — для таких случаев нужны другие подходы (например, Беллмана — Форда).